Naravoslovje
Okolica mora z neko silo delovati na telo, da to telo z
neko maso spravi v (ali vpliva na) gibanje.
Opazovalni sistemi
Inercialni opazovalni sistemi se
gibljejo premo in enakomerno drug proti/od drugemu/ga, ne
pospešujejo.
Galilejevski
sistemi
Galilejeve transformacije veljajo za nepospešene
(inercialne sisteme), ter pri majhnih hitrostih
(pomeni, da ne blizu svetlobni hitrosti, kjer jih
nadomestijo druge transformacije – Lorentzeve?).
\[ \vec r = \vec r' + \vec
r_0 \implies \vec r' = \vec r - \vec r_0 \] \[ \vec r' = \vec r + \vec r_0'
\implies \vec r = \vec r' - \vec r_0' \]
\[ \vec r' = \vec r - \vec
r_0
\implies \frac{\d \vec r'}{\d t} = \frac{\d \vec
r}{\d t} - \frac{\d \vec r_0}{\d t}
\implies \vec v' = \vec v - \vec v_0 \]
Pospeški so v vseh inercialnih sistemih enaki (ker
en sistem ne pospešuje v primerjavi z drugim).
\[ \vec a' = \vec a - \vec
a_0 = \vec a \]
Pospešeni sistemi
(Neinercialni sistemi)
Če opazovalni sistem pospešuje, ima torej
sistemski pospešek, se pojavi sistemska sila.
\[ \vec a' = \vec a - \vec
a_{sis.} \]
Coriolisov pojav
Do Coriolisovega pojava pride v vrtečem se (torej
pospešenem) sistemu. Imenujemo ga tudi Coriolisova
sila po navidezni sili, ki pridi v poštev pri računanju
v takšnih sistemih.
\[ \vec F_{Co} = - 2 m (\vec
\omega \times \vec v) \]
Sile
Sila je učinek/vpliv okolice, teles v okolici na drugo
telo. V galilejevskih
(inercialnih) opazovalnih sistemih ni
“skrivnostnih” sil brez določenega telesa – vsaka sila ima
svoje izvorno telo (v pospešenih sistemih imamo še
sistemski pospešek, ki povzroča navidezno
sistemsko silo).
Newtonovi zakoni (veljajo le v galilejevskih
opazovalnih sistemih):
- Če je vsota učinkov okolice (zunanjih sil) enaka nič,
telo miruje ali se giblje premo in enakomerno \[ \sum_{i} \vec F_i = 0 \implies \vec
a = 0 \] Bolj splošno: Če je vsota sil na telo enaka
nič, je mogoče najti opazovalni sistem, v
katerem se telo giblje premo in enakomerno.
- Pospešek je sorazmeren s silo in ima smer sile
(vzročna zveza: vzrok sila \(\to\) posledica gibanje) \[ \sum_{i} \vec F_i = m \vec{a}
\]
- Če deluje prvo telo na drugo z neko silo, deluje
drugo telo na prvo z nasprotno enako silo \[ \vec F_{1,2} = - \vec F_{2,1}
\]
Masa je lastnost telesa, da se upira pospešovanju
– vztrajnost (inercija). Teža je sila okolice,
sorazmerna z maso (težnostni pospešek je neodvisen od
mase).
Težišče: \[ \vec r^* =
\frac{\sum m_i \vec r_i}{\sum m_i} = \frac{\int \d m \vec
r}{\int \d m}; M = \int \d m \] Drugi Newtonov zakon
za gibanje težišča: težišče v gibanje spravijo le zunanje
sile $$ F_{zun.} = M a* Notranje sile ne opravljajo dela, če
je telo togo.
| lepenje (ob mirovanju) |
\[ F_{l, max} = k_l F_N
\] |
| trenje (ob gibanju) |
\[ F_{tr} = k_{tr} F_N
\] |
| količnik trenja/lepenja |
\[ k_l \geq k_{tr}
\] |
| Hookov zakon |
\[ \vec F_{vzmet} =
-k_{vzmeti} \vec{x} \] |
\[ g(r) = g \frac{r_z^2}{r^2}
\] \[ F = G \frac{m_1
m_2}{r^2} \] \[
\frac{r^3}{t_0^2} = \text{stalno} \]
\[ F = k x \] \[ F_tr = k_tr F_n \] \[ \vec{F} = m \vec{a} \] \[ \vec{G} = m \vec{v} \] \[ \vec{F} \Delta t = \Delta \vec{G}
\] \[ M = r F \sin \alpha
\] \[ \Delta p = \rho g h
\]
\[ F = p S \] \[ F_v = \rho_{\text{tek.}} g V
\] \[ \Delta p = \rho g h
\]
Mehanika
- Opis gibanja: kinematika
- Napoved gibanja: dinamika
\[ x = x_0 + v_0 t + \frac {a
t^2}{2} \] \[ v = v_0 + a
t \]
\[ a = \frac{\d v}{\d t} =
\frac{\d v \d x}{\d x \d t} = v \frac{\d v}{\d x} \]
\[ \int_{v_0}^v v \d v =
\int_{x_0}^x a \d x
\implies \frac{1}{2} (v^2 - v_0^2) = a (x - x_0)
\]
\[ v^2 = v_0^2 + 2 a (x - x_0)
\]
Povprečna hitrost na časovnem odseku: \[ \overline{\vec v} = \frac{\Delta
\vec r}{\Delta t} \]
Za razliko od povprečne hitrosti se prava hitrost nanaša
na trenutek, ko gre časovni odsek proti nič: \[ \vec v = \lim_{\Delta t \to 0}
\frac{\Delta \vec r}{\Delta t} = \frac{\d \vec r}{\d t}
\] \[ \vec v = (v_x, v_y,
v_z) = \left( \frac{\d x}{\d t}, \frac{\d y}{\d t}, \frac{\d
z}{\d t} \right) \]
Podobno velja tudi za pospešek in vse nadaljne časovne
odvode poti: \[ \overline{\vec a}
= \frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \] \[ \vec a = \lim_{\Delta t \to 0}
\frac{\Delta \vec v}{\Delta t} = \frac{\d \vec v}{\d t}
\] \[ \vec a = \left(
\frac{\d v_x}{\d t}, \frac{\d v_y}{\d t}, \frac{\d v_z}{\d
t} \right)
= \left( \frac{\d^2 x}{\d t^2}, \frac{\d^2 y}{\d t^2},
\frac{\d^2 z}{\d t^2} \right) \]
Pospešek, ki je vzporeden hitrosti, zgolj spreminja
velikost hitrosti, nevzporeden pospešek pa tudi spreminja
smer. \[ \sin \d \phi
= \frac{| \vec a | \d t}{| \vec v |} \implies \d \phi =
\frac{a}{v} \d t \implies a
= \frac{\d \phi}{\d t} v = \omega v \]
| položajni vektor |
\[ \vec r = \vec r_0 +
\int_{t_z}^{t_k} \vec v \d t + \int_{t_z}^{t_k} \vec a
\frac{t^2}{2} \] |
| pot [\(m\)] |
\[ s = \int_{\vec r_z}^{\vec
r_k} \lvert \d \vec r \rvert = \int_{\vec r_z}^{\vec r_k} \d
s \] \[ \d s^2 = \d x^2 +
\d y^2 + \d z^2 \] |
| hitrost (spreminja vektor položaja) [\(\frac{m}{s}\)] |
\[ \vec v = \vec r '(t) =
\frac{\d \vec r}{\d t} = \vec v_z + \int_{t_z}^{t_k} \vec a
\d t \] \[ \vec v^2 = \vec
v_0^2 + \int_{t_z}^{t_k} 2 \vec a \d x \] \[ \overline{\vec v} = \frac{\Delta
\vec{r}}{\Delta t} \] |
| pospešek (spreminja smer in velikost hitrost) [\(\frac{m}{s^2}\)] |
\[ \vec a = \vec v '(t) =
\frac{\d \vec v}{\d t} \] \[ \overline{\vec a} = \frac{\Delta
\vec v}{\Delta t} \] |
Navor
(Glej tudi Vrtenje)
Navor (tudi vrtilni moment) \(M [Nm]\) je sukalna sila,
odvisna od neke sile \(F\)
na ročico dolžine \(r\),
pripeto v osi sukanja. \[ \vec M
= \vec r \times \vec F = \vec r \vec F_t \]
Energije
Zakon o ohranitvi energije: V zaprtem
sistemu se energija ohranja; ne more nastati
iz nič ali izginiti v nič, lahko pa se pretvarja iz ene
vrste energije v drugo.
\[ A = \Delta W_k + \Delta W_p
+ \Delta W_{pr} + ... \] \[ A = - p \Delta V \]
| delo (sprememba energije) [\(\frac{kg m^2}{s^2} = Nm =
J\)] |
\[ A = \vec{F} \vec{s} = F s
\cos \varphi = \Delta W \] |
| moč [\(\frac{J}{s} =
W\)] |
\[ P = \frac{\d A}{\d t}
\] \[ \overline{P} =
\frac{A}{\Delta t} \] |
\[ P = \frac{\d A}{\d t} =
\frac{\d F s}{\d t} = F \frac{\d s}{\d t} = F v
\]
\(W = W_k + W_p = M_Z
\frac{v^2}{2} - G \frac{M_S M_Z}{r}\) (npr. v
osončju):
- \(W < 0\): vezan
sistem (elipsa)
- \(W = 0\)
(parabola)
- \(W > 0\): prost
sistem (hiperbola)
Kinetična energija
Kinetična energija je lastnost gibajočega se
telesa.
\[ \Delta W_k = A = \int_{\vec
r_1}^{\vec r_2} \vec F \d \vec r
= \int_{\vec r_1}^{\vec r_2} m \vec a \d \vec r
= \int_{\vec r_1}^{\vec r_2} m \frac{\d \vec v \d \vec
r}{\d t \d t}
= m \int_{\vec v'}^{v} \vec v \d \vec v
= m \int \vec v \d \vec v
= m \int \left( v_x \d v_x + v_y \d v_y + v_z \d v_z
\right)
= \frac{1}{2} m \left( v_x' + v_y' + v_z'
\right)
\Big|_{v'}^{v} = \frac{1}{2} m v^2
\Big|_{v'}^{v}
= \frac{1}{2} m (v^2 - v'^2) \]
\[ W_k = \frac {m v^2}{2}
\]
Potencialna
težnostna energija
Potencialna energija ima naravno izhodišče (\(W_{p, g} = 0\)) neskončno daleč
stran od izvora težnosti, kjer gre teža proti nič (\(r_1 \rightarrow \infty\)), in
je tem bolj negativna, bližje, kot smo izvoru
težnosti:
\[ \vec F_g = -G \frac{m_1
m_2}{r^2} \frac{\vec r_{1,2}}{r} \]
\[ W_{p, g} = - A_g
= - \int_{\vec r_1}^{\vec r_2} \vec F_g \cdot d\vec{r}
= - \int_{r_1}^{r_2} \left(- \frac{G m_1 m_2}{r^2}
\right) \frac{r_{1,2}}{r} dr
= \int_{r_1}^{r_2} \frac{G m_1 m_2}{r^3} r dr
= - \frac{G m_1 m_2}{r} \Big|_{r_1}^{r_2}
= - \frac{G m_1 m_2}{r_2} \]
\[ W_{p, g} = - \frac{G m_1
m_2}{r_2} \]
Za “ravno Zemljo” (\(\Delta h
<< r_Z\)) – izhodišče je po dogovoru na ničelni
nadmorski višini: \[ g = \frac{G
M_Z}{r_Z^2} \] \[ W_{p, g}
= m g h \] \[ \Delta W_{p,
g} = \int_{z_0}^z m g \d z = m g (z - z_0) \]
Za Sončev sistem velja: \[ W_k + W_p = \mathrm{stalnica}
\] kjer je \(W_k\)
vedno pozitivna, \(W_p\) pa vedno
negativna.
Potencialna
prožnostna energija
Izhodišče je v ravnovesni legi (\(x = 0\)).
\[ \Delta W_{pr} = -A_{vzmeti}
= - \int_{x'}^x F x \d x = \int_{x'}^{x} k x \d x
= \frac{1}{2} k (x^2 - x'^2) = \frac{1}{2} k x^2
\]
\[ \Delta W_{pr} = \frac{1}{2}
k x^2 \]
Entalpija
\[ H = W_n + p V \]
\[ \Delta H = \Delta W_n + p
\Delta V \]
Gibalna količina
V nasprotju z energijami je gibalna količina
vektor.
\[ \vec G = m \vec v \]
\[ \vec F = m \vec a = m \frac{\d
\vec v}{\d t} = \frac{\d (m \vec v)}{\d t}
= \frac{\d \vec G}{\d t} \]
\[ \int_{t'}^{t} \vec F \d
t = \int_{t'}^t \frac{\d \vec G}{\d t} \d t
= \vec G \Big|_{t'}^t = \vec G - \vec G' = \Delta
\vec G \]
\[ \int_{t'}^{t} \vec
F_{zun.} \d t = \Delta \vec G = m \Delta \vec v \]
Gibalna količina zaprtega sistema se ohranja (če ni
pretvorb energij), spremenijo jo lahko le zunanje
sile (torej se lahko spremeni le, če sistem ni
zaprt), ker se notranje sile med sabo izničijo.
- Neprožni trk: ohranja se gibalna količina, kinetična
energija se ne ohranja
- Prožni trk: ohranjata se gobalna količina in
kinetična energija
Termodinamika
Temperatura je termodinamska spremenljivka,
toplota pa ne. Toplota je način prehajanja energije,
vrsta dela.
Povprečna kinetična energija molekul: \[ p = \frac{2}{3} \frac{N}{V} <
W_{k1} > \]
Kinetična opredelitev temperature: \[ < W_{k 1} > = \frac{3}{2} k_B
T \]
Termodinamski zakoni:
- Če je termodinamski sistem A v ravnovesju z B in
B v ravnovesju z C, potem je A v ravnovesju z C (zakon o
prenosljivosti termodinamskega ravnovesja). \[ A \sim B \wedge B \sim C \Rightarrow
A \sim C \]
- Iz zakona o ohranitvi energije sledi, da je
sprememba energije sistema enaka vsoti
dovedene/oddane toplote in dovedenega/oddanega dela
(energijski zakon): \[ \d W = \mathrm{đ} Q + \mathrm{đ} A
\]
- Entropija je pri vsaki
izmenjavi toplote večja od nič (entropijski
zakon): \[ \Delta S \ge \oint
\frac{\mathrm{đ} Q}{T} \ge 0
\]
- Sprememba entropije je pri absolutni ničli
enaka nič (Nernstov izrek): \[ \Delta S (T = 0 K) = 0
\]
\[ \Delta W_n = Q_{stalna V} =
m c_V \Delta T \]
\[ Q_{stalen p} = \Delta W_n -
A = m c_V \Delta T + \int{p \d V} = m c_V \Delta T + p (V_2
- V_1) = m c_V \Delta T + \frac{m}{M} R \Delta T = m c_p
\Delta T \]
\[ Q = m c_p \Delta T
\]
Za popolni plin velja: \[ c_p
- c_V = \frac{R}{M} \]
Splošna plinska enačba: \[
\frac{p V}{T} = \mathrm{stalnica} = N k_B = \frac{m}{M} N_A
k_b = \frac{m}{M} R \] \[
p V = n R T = \frac{m}{M} R T \]
Sredobežni (centripetalni) pospešek, ki sploh
povzroča kroženje: \[ a_r =
\omega v = \frac{v_0^2}{r} = - \omega^2 r \]
Obodna hitrost: \[ \vec{v} =
\frac{\d \vec{r}}{\d t} = r \frac{\vec{\d \phi}}{\d t} =
\vec r \times \vec{\omega} \]
Obodni pospešek: \[ \vec{a_t}
= \frac{\vec{\d v}}{\d t} = r \frac{\vec{\d \omega}}{t} =
\vec r \times \vec{\alpha} \]
Coriolisova sila: \[ \vec
F_{Coriolis} = -2 m (\vec{\omega} \times \vec{v})
\]
Keplerjevi zakoni:
- Tiri planetov so elipse, Sonce je v gorišču.
- Ploščinska hitrost planetov je stalna.
- \(\frac{r^3}{t_0^2}\) =
stalno
Vztrajnostni moment [
\(kg m^2\)] je porazdelitev
mase telesa glede na os vrtenja:
\[ W_{k, rot} = \frac{1}{2}
\sum_i m_i \vec{v_i}^2
= \frac{1}{2} \int \d m \vec{v}^2
= \frac{1}{2} \int \d m \vec{r}^2 \vec{\omega}^2
= \frac{1}{2} \omega^2 \int \d m \vec{r}^2
= \frac{1}{2} J \vec{\omega}^2 \]
\[ W_{k, rot} = \frac{1}{2} J
\omega^2 \]
Vztrajnostni
momenti za nekatera
homogena
telesa:
\[ J_{točka, cev} = m R^2
\]
\[ J_{valj} = \int \d m r^2
= \int \rho \d V r^3 = \int \rho h 2 \pi r^3 \d r
= \frac{\pi}{2} \rho h \Delta R^4 = \frac{1}{2} m R^4
\]
\[ J_{valj} = \frac{1}{2} m
R^4 \] \[ J_{krogla} =
\frac{2}{5} m R^2 \]
Steinerjev izrek: če je težišče telesa izmaknjeno od
osi vrtenja, je vztrajnostni
moment telesa enak vsoti
tistega, ki bi bil, če bi bila os v težišču in tistega, če
telo vzamemo kot točko (težišče) ki kroži na neki razdalji
os osi:
\[ J = J^* + m d^2
\]
\[ \vec r = \vec r^* + \vec
r_T \] \[ J = \int \d m
r^2
= \int \d m (\vec r - \vec r_{os})^2
= \int \d m (\vec r^* + r_T - \vec r_{os})^2
= \int \d m (\vec r_T^2 + 2 (\vec r^* - \vec r_{os}) \vec
r_T + (\vec r - \vec r_{os})^2)
= \int \d m r_T^2 + \d m 2 (\vec r^* - \vec r_{os}) \vec r_T
+ \d m (\vec r - \vec r_{os})^2
= J^* + 0 + m d^2 \]
\[ A = \Delta W_k =
\frac{1}{2} J (\Delta \omega)^2 = \int \vec M \vec{\d \phi}
\] \[ P = \frac{\d A}{\d
t} = \frac{\vec M \vec{\d \phi}}{\d t} = \vec M \vec \omega
\] \[ \vec M = J \vec
\alpha \]
Navor:
\[ \vec M = \vec r
\times \vec F = \vec r \times m \vec \alpha \vec r = J \vec
\alpha \]
\[ \int \vec M \d \vec \phi =
J \int \frac{\d \vec \omega}{\d t} \d \vec \phi =
J \int \frac{\d \vec \omega}{\vec \omega} = \frac{1}{2} J
\omega^2
|_{\omega'}^{\omega} = \Delta W_k = A \implies A = \int
\vec M \d \vec \phi =
\frac{1}{2} J (\Delta \vec \omega)^2 \]
\[ A = \int \vec M \d \vec
\phi = \frac{1}{2} J (\Delta \vec \omega)^2 \] \[ P = \frac{\d A}{\d t} = \frac{\vec M
\d \vec \phi}{\d t} = \vec M \vec \omega \]
Vrtilna količina je gibalna količina krožečega
telesa: \[ \vec \Gamma = = \sum_i
\vec r_i \times \vec G_i = \vec r \times \vec G
= \int \d m \vec r \times \vec v = J \vec \omega
\] \[ \vec M = \vec r
\times \vec F = \vec r \times \frac{\d \vec G}{\d t} =
\frac{\d \vec \Gamma}{\d t} \] \[ \vec \Gamma = \vec \Gamma_{tirna} +
\vec \Gamma_{lastna}^* \] \[ \vec \Gamma_{tirna}^* = \int \d m
\vec r_T \times \vec v_T \] \[ \sum \vec r^* \times \vec F_{zun} =
\vec r^* \times \sum \vec F_{zun} \]
Prečna vrtilna količina (\(\Gamma_{trans.}\)), ki povzroča
tresenje pri vrtenju, je pravokotna na os vrtenja, oz. na
vektor \(\omega\).
Če obstaja ta prečna vrtilna količina, lahko torej celotna
vrtilna količina ni vzporedna kotni hitrosti. Do tega pride,
če težišče telesa ne leži na osi vrtenja.
Ubežne hitrosti
(kozmične hitrosti)
1. ubežna hitrost \(v_I\): kako hitro bi se morala
Zemlja vrteti, da bi sredobežni pospešek premagal težnost
\[ F_c = F_g \\
\implies \frac{m v^2}{R_Z} = \frac{K m M_Z}{R_Z^2} = m g
\\
\implies v_{K1} = \sqrt{R_Z g} = 8 \frac{km}{s}
\]
2. ubežna hitrost \(v_{II}\): pobeg Zemlji glede na
Zemljo
\[ W_k = - W_p \\
\implies \frac{m v_{II}^2}{2} = \frac{m M_Z K
R_Z}{R_Z^2} = m g R_Z \\
\implies v_{II} = \sqrt{2 R_Z g} = \sqrt{2} v_I = 11,2
\frac{km}{s} \]
3. ubežna hitrost \(v_{III}\): pobeg Soncu glede na
Sonce
\[ \frac{m v_{III}^2}{2} =
\frac{m M_S K}{d} \\
\implies v_{III} = \sqrt{\frac{2 M_S K}{d}} = 42
\frac{km}{s} \] Velja tudi: \[ v_{III} = (V_{II} - v_0)^2 +
v_{II}^2 \] kjer je \(v_0\) hitrost, ki jo že imamo
zaradi kroženja Zemlje
Ravnovesje
- labilno r. (npr. na vrhu hriba)
- indiferentno r. (npr. na ravnini)
- stabilno r. (npr. na dnu doline)
| napetost \(\frac{F}{S}\), prožnostni
modul \(k\),
deformacija (?) |
\(\frac{\vec F}{\vec S} = k
\frac{\vec F}{\vec S}\) |
| nateg (prožnost E [\(\frac{N}{m^2}\)) |
\(\frac{F_x}{S_x} = E
\frac{\Delta x}{\d x}\) |
| strižna deformacija |
\(\frac{F_y}{S_x} = G
\frac{\Delta y}{\d x}\) |
| vsestransko stiskanje (stisljivost \(\chi\) [\(\frac{m^2}{N}\)]) |
\(\frac{F}{S} = K \frac{\Delta
V}{V} = - K \chi \Delta p\) |
| Pasonov količik \(\mu\) |
\(\frac{\Delta y}{\d y}
\frac{\Delta z}{\d z} = - \mu \frac{\Delta}{\d
x}\) |
\[ K = \frac{E}{3 (1 - 2 \mu}
\] \[ G = \frac{E}{2 (1 +
\mu)} \]
Vzvoj (
torzija; npr. zvijanje palice okoli njene
osi):
\[ M = \int_0^R d \d F =
\int_0^R r G \frac{r \phi}{l} 2\pi r \d r
= G \frac{2 \pi R^4}{4 l} \phi = G \frac{\pi R^4}{4 l} \phi
\]
\[ M = - D \phi \]
\[ D = \frac{1}{2} \pi G
\frac{R_0^4}{l} \left[ \frac{N m^4}{m^2 m} = N m \right]
\]
Nihanje
| Frekvenca |
\[ \gamma = \frac{N}{\Delta
t} = \frac{1}{t_0} \] |
| Krožilna frekvenca (kotna hitrost) |
\[ \omega = \frac{\Delta
\phi}{\Delta t} = \frac{2 \pi}{t_0} = 2 \pi \gamma
\] |
\[ x(t) = A \sin(2\pi
\frac{t}{t_0} + \delta) = A \sin(\omega t + \delta)
= A \left[ \sin(\omega t) \cos(\delta) + \cos(\omega t)
\sin(\delta) \right] \] \[
v(t) = \frac{\d x}{\d t} = v_0 \cos (\omega t + \delta)
= \omega A cos(\omega t + \delta) \] \[ a(t) = \frac{\d v}{\d t} = a_0 \sin
(\omega t + \delta)
= - \omega^2 A \sin (\omega t + \delta) = - \omega^2
x(t) \]
\[ F = m a = -m \omega^2 x = -
k x \] \[ W = W_k + W_p =
\frac{1}{2} m \omega^2 \left[ \cos^2 (\omega t + \delta) +
\sin^2 (\omega t + \delta) \right] = \frac{1}{2} m \omega^2
\]
Matematično nihalo:
\[ M = J \alpha \]
\[ - m g l \sin(\phi) = m l^2
\frac{\d^2 \phi}{\d t^2} \\
\implies g \sin(\phi) = l \frac{\d^2 \phi}{\d t^2} \\
\implies \frac{\d^2 \phi}{\d t^2} = - \frac{g}{l}
\sin(\phi) \]
\[ \omega^2 = \frac{g}{l}
\]
Vzmetno nihalo: \[ - k x = m
\alpha = \frac{\d^2 x}{\d t^2} \] \[ \omega^2 = \frac{k}{m} =
\frac{\mathrm{prožnost}}{\mathrm{vztrajnost}} \]
Vzvojno (torzijsko) / sučno nihalo: \[ - D \phi = M = J \alpha = J
\frac{\d^2 \phi}{\d t^2} \] \[ \omega^2 = \frac{D}{J} =
\frac{\mathrm{prožnost}}{\mathrm{vztrajnost}} \]
Fizikalno nihalo (
masa nihala ni točkasta,
ampak porazdeljena po dolžini nihala):
\[ M = J \alpha \]
\[ - mg d^* \sin(\phi) = J
\frac{\d^2 \phi}{\d t^2} \]
\[ \omega^2 = \frac{m g d^*
}{J} \]
Dušeno nihanje
\[ x = A e^{-\beta t}
\sin(\omega' t + \delta) \] \[ W = W_0 \mathrm{e}^{-2 \beta t}
\]
\[ \omega '^2 = \omega^2 -
\beta^2 \]
- nadkritično dušenje: nihalo se počasi –
tem počasneje tem večje je dušenje – vrne v ravnovesno lego
\[ \beta > \omega \]
\[ x = x_0 \mathrm{e}^{- \beta t}
\cosh (\omega t + \delta) \]
- kritično dušenje: nihalo se vrne v
ravnovesno lego v najhitrejšem možnem času \[ \beta = \omega \] \[ x = x_0 \mathrm{e}^{- \beta t} + x_2
t \mathrm{e}^{- \beta t} \]
- podkritično dušenje: nihanje se sčasoma
ustavi, a šele po tem ko še večkrat prečka ravnovesno lego
\[ \beta < \omega \]
\[ x = x_0 \mathrm{e}^{- \beta t}
\cos (\omega t + \delta) \]
Vsiljeno nihanje
| \(\omega_v <<
\omega_0\) |
\(\to 1\) |
0 |
| \(\omega_v \approx
\omega_0\) |
>> 1 |
\(\pi / 2\) |
| \(\omega_v >>
\omega_0\) |
\(\to 0\) |
\(\pi\) |
\[ \tan \delta = \frac{2 \beta
\omega}{\omega_0^2 - \omega^2} \]
Sklopljeno nihanje
in valovanje
Za razliko od nihala, ki je diskretna točka v
prostoru, je valovanje zvezno v prostoru. Lahko tudi rečemo,
da je valovanje nabor mnogih med seboj sklopljenih
nihal.
Motnje preko te sklopitve nihal potujejo s hitrostjo
\(c\). Hitrost je odvisna
od moči sklopitve, oz. prožnosti vezi, in vztrajnosti nihal:
\[ c^2 =
qfrac{\mathrm{prožnost}}{\mathrm{vztrajnost{}} \]
Dve vrsti valovanja:
- prečno (transverzalno): \(\vec s \perp \vec c\); neke
vrste strižne deformacije
\[ c^2 = \frac{G}{\rho}
\]
- vzdolžno (longitudinalno): \(\vec s \parallel \vec c\); neke
vrste natezne deformacije
\[ c^2 = \frac{E}{\rho} \]
\[ c^2 = \frac{1}{\chi \rho}
\]
Energija valovanja: Energija,
porazdeljena po prostoru: \[ W_k
\to w_k = \frac{\d W_k}{\d V} \] \[ \d W_k = \d m \frac{v^2}{2} \to w_k
= rac{1}{2} \rho v'^2
= \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\pd s}{\pd t} \right) =
w_k \]
Tekočine
- kapljevina: vezan sistem; \(W_p + W_k < 0\); \(|W_p| > |W_k|\)
- plin: prost sistem; \(W_p + W_k > 0\); \(W_p \approx 0\); \(|W_p| << |W_k|\)
Tlak [\(\frac{N}{m^2} =
Pa\)]: \[ p = \frac{\d
F}{\d S} \]
Hidravlika: na eni strani imamo ozko cev,
kjer je potrebna majhna sila, da na strani široke cevi
zagotovimo veliko silo; vendar dela opravimo enako, ker
\(A =
-\ p \Delta V\) in na obeh straneh prostornino enako
spremenimo, ker moramo na ožji strani bat potisniti
dlje kot se premakne na širši strani. \[ \frac{F_2}{F_1} = \frac{S_2}{S_1}
\]
Vzgon – nasprotno enak teži izpodrinjene tekočine:
\[ \Delta p = \rho_t g h
\] \[ \vec F_{vzg} = \int
p_{hidrostat.} \d \vec S \] \[ F_{vzg.} = \rho_{i. t.} V_{i. t.} g
\]
Površinska napetost: Molekule gladine so
manj vezane, \(W_{p, gladina} >
W_{p, not.}\), ker imajo okoli sebe manj (\(\approx 1/2\)) sosednjih
molekul, ki bi jih vezale nase. Z višanjem
temperature se površinska napetost še manjša (prehod
v nevezan plin).
Tok
Židkost (viskoznost) \(\eta\) [\(\frac{N s}{m^2} = \frac{kg}{ms} = {Pa}
s\)] je kako težko tekočina teče. Opredeljena je (za
newtonske tekočine) kot razmerje med strižno napetostjo in
strižno hitrostjo.
Če \(\eta \to 0 \implies {Re}
\to \infty\), tekočino imenujemo
superfluid.
Upor:
- linerani zakon upora (Stokes): \(F_u^{(1)} = 6 \pi R \eta
v\)
- kvadratni zakon upora: \(F_u^{(2)} = \frac{1}{2} \rho v^2 \pi
R^2 C_u\)
\[ \frac{F_u^{(1)}}{F_u^{(2)}}
= \frac{1/2 \pi R^2 \rho v^2 C_u}{6 \pi R \eta v}
= \frac{C_u \rho}{12 \eta} R v \]
Reynoldsovo število: \[ {Re} =
\frac{\rho}{\eta} 2 R v \]
- \({Re} < 0.1\):
laminaren tok, linearni zakon upora
- \(10^{-1} < {Re} <
10^3\): mešani tok
- \(10^3 < {Re}\):
turbolentni tok, kvadratni zakon upora
Značilnosti popolne (idealne) tekočine:
- ni disipativnih sil
- staionaren (laminaren) tok
- \(A = \Delta W_k + \Delta
W_p\)
- nestisljiva (\(V_1 = V_2 =
V\))
\[ \d \Phi_V = \frac{\d V}{\d
t} = \frac{v \d t \d S}{\d t} = \vec v \d \vec S \]
\[ \Phi_V = \int \vec v \d \vec S
= \bar{v} S \]
Bernoullijeva enačba (je popolna za popolno
tekočino, sicer pa je dober približek): \[ A_{tek.} = - \Delta p V = \Delta W_k
+ \Delta W_pg
= \rho V \Delta (\frac{v_2}{2} + \rho V g \Delta h
\] \[ \frac{1}{2} \rho
v_1^2 + \rho g h_1 + p_1 = \mathrm{stalno} \]
\[ \frac{S_1}{S_2} =
\frac{v_1}{v_2} \]
Gradient hitrosti zaradi strižnih sil (glej
strižne deformacije): Tekočina ob steni cevi miruje,
od stene proti sredini toka pa hitrost narašča – večja kot
je židkost (viskoznost) \(\eta\), hitreje narašča. \[ \frac{F}{S} = \eta \frac{\d v_y}{\d
x} \]
Poiseuillov zakon: \[
\Phi_V = \frac{\d V}{\d t} = \frac{\pi r^4}{8 \eta}
\frac{\Delta p}{l} \]
Elektrika
V mikrosvetu je težnost zanemarljiva v primerjavi
z električno silo.
Električno polje [N/As = V/m] –
Coulombov zakon: \[ \vec
E_{\mathrm{toč.}} (\vec{r}) = \frac{e}{4 \pi \epsilon_0 r^2}
\frac{\vec{r}}{|r|} \] \[
\vec E_{\mathrm{porazd.}} = \int{ \vec{\d E} } = \int{
\frac{\d e}{4 \pi \epsilon_0 \vec{r}^2} } \] \[ \vec{E} (\vec{r}) = \sum{\vec{E_i}
(\vec{r})} \]
Enačba za električno silo je na moč podobna
enačbi za težo, \(\vec{F_g}
(\vec{r}) = m \vec{g} (\vec{r})\), kjer imamo
maso v težnostnem polju. \[ \vec{F_e} (\vec{r}) = e \vec{E}
(\vec{r}) \]
Električna sila je konzervativna sila:
\[ \oint e \vec{E} \d \vec{s} = 0
= A_e \]
Električni dipolni moment, kjer je \(d\) razdalja med poloma,
oz. nasprotnima nabojema: \[
\vec{p_e} = e d \]
\[ \vec{M_e} = e \vec{E} d
\sin(\theta) = \vec{p_e} \times \vec{E} \] \[ W_e = - A_e = - \int{ \vec{p_e}
\times \vec{E} \vec{\d \theta} } = - \int{ p_e E
\sin(\theta) \d \theta } = p_e E \cos(\theta) = - \vec{p_e}
\vec{E} \]
Gostota el. naboja po dolžini, površini in
prostornini: \[ \lambda =
\frac{\d e}{\d l}; \sigma = \frac{\d e}{\d S}; \rho_e =
\frac{\d e}{\d V} \] \[
\vec E_{\mathrm{vodnik}} (\vec r) = \frac{\lambda}{2 \pi
\epsilon_0 \vec r}; r << l \] \[ E_{\mathrm{plošča}} =
\frac{\sigma}{2 \epsilon_0} \]
Električni pretok [As]: \[ \phi_e = \epsilon_0 \int{ \vec{E}
\vec{\d S}} \]
Gaussov zakon: Če preštejemo vse silnice, dobimo
objeti naboj: \[ \epsilon_0
\oint{ \vec{E} \vec{\d S} } = e \]
- Primer za kroglo, v sredini katere je naboj: \[ \epsilon_0 \oint{ \vec{E} \vec{\d S}
} = \epsilon E(r) 4 \pi r^2 = e \]
- Primer za ploščo: \[
\epsilon_0 \oint{ \vec{E} \vec{\d S} } = \epsilon_0 2 E \d S
= \sigma \d S = \d e \]
Električna napetost med dvema točkama [J/As
= V] je razlika med el. potencialoma: \[ W_{\mathrm{p, e}} = - A_e = - \int{
\vec{F} \vec{\d s} } = \int{ e \vec{E} \vec{\d s} } \implies
- \int_{\vec r'}^{\vec r} \vec{E} \vec{\d s} = U
(\vec{r}, \vec{r'}) \] \[ W_{\mathrm{p, e}} = e U
\]
Skalarno polje električnega potenciala:
\[ V(\vec{r}) = -
\int_{-\infty}^{\vec r} \vec{E} \vec{\d s} \] \[ W_{\mathrm{p, e}} (\vec{r}) = e
V(\vec{r}) \]
Za točkast naboj: \[
V_{\mathrm{točk.}}(\vec r) = \frac{e}{4 \pi \epsilon_0 r}
\]
Snov v električnem
polju
Snovi lahko ločimo po gibljivosti električnega
naboja:
Superprevodniki: upor je po opredelitvi
ničen
Prevodniki (kovine): naboji se prosto gibljejo
po snovi (dipol makroskopskih velikosti) V
kondenzator vstavimo plošče prevodnika: naboj v
prevodniku se prerazporedi, tako da se na strani prevodnika
pri pozitivno nabitem delu kondenzatorja
naberejo elektroni – tako dobimo dva nova
“kondenzatorja” z manjšim razmikom \[ U_C = \frac{e (d - d_p)}{\epsilon_0
S} \]
Polprevodniki
Izolatorji / dielektriki
- polarni: trajen dipolni moment
- nepolarni: brez trajnega dipolnega
momenta, dobi ga / je induciran v el.
polju
Dielektričnost \(\epsilon \in [1, \infty)\):
pove, koliko se snov (dielektrik) odzove na zunanje
el. polje (\(\epsilon\) vakuma je 1,
prevodnika pa \(\infty\))
Gaussov zakon popravljen za dielektrike: \[ \epsilon_0 \oint \epsilon \vec E
\vec{\d S} = \oint \vec D \vec{\d S} = e \] Gostota
el. polja: \[ \vec D =
\epsilon \epsilon_0 \vec E = \epsilon_0 \vec E + \vec P
\] Polarizabilnost(0 za vakum, proti \(\infty\) za prevodnike): \[ \vec P = (\epsilon - 1) \epsilon_0
\vec E \] Povsod, kjer nastopa \(\epsilon_0\), se ga pomnoži z
\(\epsilon\).
V polarnem dielektriku el. polje dipole
uredi/usmeri, v nepolarnem pa jih influencira,
zato pri obeh vrstah lahko govorimo o isti
dielektrični stalnici.
Polarizacija kot prostorninska gostota
dipola: \[ \frac{e_R}{S} =
\frac{N}{V} p_e \]
Navor el. polja na dipol: \[ \vec M = \vec{p_e} \times \vec E
\] \[ E_e = - \vec{p_e}
\vec E \]
Praviloma višja, kot je temperatura snovi, bolj se
delci (dipoli) gibljejo in večja je
dielektričnost snovi, saj je potrebne manj
energije, da se dipoli poravnajo z el.
poljem.
Elektrodinamika
Električni tok [A] je hitrost prehajanja
naboja, a ni vektor \[ I =
\frac{\d e}{\d t} = \rho_e v S \]
Električni tok je vedno laminaren.
Gostota el. toka: \[
\vec{j_e} = \frac{I}{S} = \rho_e \vec v = e w_e <\vec
v>; w_e = \frac{N_+ - N_-}{V} \]
Elektroni se v npr. navadnih žicah gibljejo zelo
počasi (~ \(10^{-4}
\frac{m}{s}\)), se pa motnja širi s približno
svetlobno hitrostjo. Poleg hitrosti pa imajo
elektroni še neko temperaturo, kar doprinese k
hitrostni širjenja motnje.
Ohmov zakon [\(\Omega\)]: \[ U = R I \]
\[ R = \zeta \frac{l}{S}
\] \[ j = \frac{\d I}{\d
S}; \frac{U}{l} = E \implies \frac{\vec E}{\zeta} = \sigma
\vec E \] \(\zeta\)
je specifični upor/upornost [\(\Omega m\)]
Električni krogi
Tok po celotnem el. krogu je stalen, ker se
elektroni ne izgubljajo.
Vsota napetosti po krogu je enaka nič: \[ \oint \vec E \vec{\d s} = 0 \implies
\sum_i U_i = 0 \]
Napetost na porabniku je enaka \(U = - I R\).
\[ P = \frac{\d A_e}{\d t} =
\frac{U \d e}{\d t} = U I = - I^2 R \]
Kirchhoffova zakona:
- Vsota tokov v vozlišču el. toka je enaka nič, oz.
vsota pritekajočih tokov je enaka vsoti odtekajočih \[ \sum_{vozlišče} I_i = 0
\]
- V sklenjeni tokovni zanki je vsota napetosti po vseh
gradnikih kroga enaka nič \[
\sum_{krog} U_i = 0 \]
Indukcija
Indukcija je posledica spremembe magnetnega
polja. Indukcijski pojavi nasprotujejo tej spremembi,
da zmanjšajo ublažijo spremembo polja.
Faradayev zakon (indukcijski zakon):
Inducirana napetost \(U_i\) je v zaključeni zanki
premo sorazmerna hitrosti spreminjanja magnetnega
pretoka \(\phi_m\) skozi
površino te zanke.
\[ U_i = \oint E \d s = -
\frac{\p}{\p t} \int B \d S = - \frac{\d \phi_m}{\d t}
\]
Kondenzator
Kondenzator deluje kot hranilnik naboja, oz. v
tokokrogu kot “prožnost”
- ploščati (kjer je \(d\)
razmak med ploščama in \(S\) njuna ploščina): \[ E_C = \frac{\sigma}{2
\epsilon_0}\] \[ |U| = | -
\int \vec E \d \vec s | = E d \] \[ C = \frac{\epsilon_0 S}{d} \]
\[ |U| = \frac{\sigma
e}{\epsilon_0} \frac{d}{S} \implies e = C U \] \[ A = \frac{e^2}{2 \epsilon_0 S} (d_2
- d_1) = \Delta W_{p, e} \implies W_C = \frac{e^2 d}{2
\epsilon_0 S} = \frac{e^2}{2 C} = \frac{e U}{2} = \frac{C
U^2}{2} \] \[ \int \d A_e
= \int U \d e = \int U C \d U = \frac{C U^2}{2}
\]
- valjasti (kjer je notranji polmer \(r\) in zunanji \(R\): \[ E = \frac{e}{2 \pi \epsilon_0 l r}
\] \[ |U| = \frac{e}{2 \pi
\epsilon_0 l} \ln \frac{R}{r} \]
- krogelni (kjer je \(r\)
polmer notranje krogle in \(R\) zunanje): \[ E = \frac{e}{4 \pi \epsilon_0 r^2}
\] \[ |U| = \frac{e}{4 \pi
\epsilon_0} (\frac{1}{r} - \frac{1}{R}) \] \[ C = \frac{4 \pi
\epsilon_0}{\frac{1}{r} - \frac{1}{R}} \]
\[ W_e = \frac{W_C}{V} =
\frac{e^2 d \epsilon_0}{2 \epsilon_0^2 S S d} =
\frac{\epsilon_0 E^2}{2} \]
Prehodni pojavi v
kondenzatorju
Karakteristični čas \(\tau = R C\)
Polnjenje \[ U_C + U_R
= 0 \implies \frac{e}{C} - I R = 0 \implies e = - \frac{\d
e}{\d t} R C \implies - \int_0^e \frac{\d e}{e} = \int_0^t
\frac{\d t}{R C} \implies \ln \frac{e}{e_0} = - \frac{t}{R
C} \implies e = e_0 \left( 1 - e ^{- t / (R C)} \right)
\] \[ e = e_0 \left( 1 - e
^{- t / \tau} \right) \]
Praznenje
\[ e = e_0 e^{- t / \tau}
\]
Elektromagnetizem
Magnetno polje ustvari električni tok, oz.
naboj.
S silnicami magnetnega polja predstavimo gostoto
mag. polja.
Silnice magnetnega polja so vedno sklenjene
(tečejo namreč od severnega pola na južni pol
in tudi skozi magnet nazaj). Magnetnih monopolov
(najverjetneje) ni.
\[ \vec B_1 = e (\vec v_1
\times \vec r) \frac{\mu_0}{4 \pi r^2 r} \] \[ \mu_0 \epsilon_0 = \frac{1}{c^2}
\]
Polje okoli vodnika: \[ \vec B
= \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{vodnik} \frac{\vec r \times
\vec{I \d l}}{r^3} = \frac{I \mu_0 a^2}{4 \pi a^3} \int_{-
\pi / 2}^{\pi /2} \frac{\d \phi \cos \phi}{cos^2(\phi)}
\] \[ B_{vodnik} =
\frac{\mu_0 I}{2 \pi r}\]
Magnetna sila: \[
\vec{F_m} = e_2 \vec v_2 \times \vec B_1 \implies F_m = e v
B \sin(\phi) \] \[ F_{m 1
2} = \frac{e_1 e_2 \mu_0}{4 \pi r^2} (\vec{v_2} \times
(\vec{v_1} \times \frac{\vec r}{r})) \]
Lorentzova sila: \[ \vec{F} =
e \vec E + e \vec v \times \vec B \]
Sila na vodnik: \[ \vec{F_m} =
N \vec{F_1} = N_e l S e_0 v B = \vec{j_e} l S \vec B =
\vec{I l} \vec B \]
Navor na zanko: neodvisen od njene oblike, odvisen le od
ploščine (ki je lahko poljubno iz-/vbočena, le da je napeta
na vodnik zanke) \[ |\vec M| =
\vec F_{m 1} b = I a B b = I S B \] \[ \vec M = \vec I S \times \vec B
\]
Magnetni dipol: \[
\vec{p_m} = \vec I \vec S \] \[ \vec M = \vec I S \times \vec B =
\vec{p_m} \times \vec B \] \[ W_m = - \vec{p_m} \vec B
\]
V homogenem magnetnem polju na gibajoč se naboj
deluje stalna sila na eno stran – sredobežna sila, ki
povzroči, da naboj v magnetnem polju kroži: \[ F_c = F_m \implies m \frac{v^2}{r} =
e v B \implies r = \frac{m v}{e B} \] Ciklotronska
frekvenca: \[ \nu_c = \frac{e
B}{2 \pi m}; \omega = \frac{e B}{m} \]
Hallova napetost: ravnovesno stanje, kjer
magnetna in električna sila kažeta vsaksebi in
sta enaki \[ F_m = F_e \implies e
v B = e E \] \[ U_H = E d
= B d v \]
Biot-Savartov zakon: polje, ki ga vodnik (zelo
dolg, \(l \gg r\)) povzroča
v točki, oddaljeni \(\vec
r\): \[ \vec{\d B}(\vec r)
= \frac{\mu_0}{4 \pi} \left( \frac{\vec{I \d l} \times \vec
r}{r^3} \right)\] \[ \vec
B(0) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int{ \frac{\vec r \times \vec{I
\d l}}{r^3} } \]
Amperov zakon: zaobjeti tok (npr. če bi šli po
magnetni silnici okoli vodnika, dobimo tok v tem
vodniku) \[ \oint \vec B \vec{\d
S} = \mu_0 I \]
Amperov zakon za tuljavo (kjer gledamo \(l'\) in \(N'\) na neko enoto: \[ \oint \vec B \vec{\d s} = B l' =
\mu_0 N' I \] \[ B =
\frac{N' \mu_0 I}{l'} t = L \frac{\d I}{\d t} I \d
t \implies A = L \int_0^I I \d I \] \[ W_m = L \frac{I^2}{2} \]
Tuljava v tuljavi: \[ L_{2 1}
= \frac{N_2 B_1 S_2}{I_1} = \frac{\mu_0 N_1^2 I_1 N_2
S_2}{l_1 I_1} = \frac{\mu_0 N_1 N_2 S_2}{l_1} \]
Snov v magnetnem
polju
\(\mu\):
permeabilnost; večja kot je, bolj snov poveča
mag. polje, ker so v snovi mag. dipoli \[ \mu_0 \rightarrow \mu \mu_0
\] Magnetni dipol: \[\vec p_m = I \vec S = e_0 \upsilon
\pi r^2 \frac{v}{2 \pi r} = \frac{e_0 r v}{2} = \frac{e_0
\Gamma}{2 m_e} \]
Izmenični tok
\[U = U_0 \sin(\omega t +
\delta) \]
Kondenzator: \[ U + U_C
= 0 \implies U_0 \sin(\omega t) = \frac{e}{C} /\frac{\d}{\d
t} \implies C \omega U_0 \cos(\omega t) = I \] \[ "R_C" = Z_C =
\frac{U_0}{I_0} = \frac{1}{\omega C} \]
Tuljava: \[ U + U_L = 0
\implies U_= \sin(\omega t) = L \frac{\d I}{\d t} \implies -
\frac{1}{\omega L} U_0 \cos(\omega t) = A I\] \[ "R_L" = Z_L = \omega L
\]
\(U_C\) in \(U_L\) v tokokrogu z izmeničnim
tokom nihata v protifazi.
Električni nihajni
krog
\[ U = U_0 \sin(\omega t)
\] \[ I = I_0 \sin(\omega
t + \delta) \] \[ \omega^2
= \frac{1}{L C} \]
Primerjava vzmetnega nihala v mehaniki in
el. nihajnega kroga:
| \[ k \] |
\[ \frac{1}{C} \] |
| \[ m \] |
\[ L \] |
| \[ F \] |
\[ U \] |
| \[ W_k \] |
\[ W_m (L) \] |
| \[ W_{pr.} \] |
\[ W_e (C) \] |
| \[ x \] |
\[ l \] |
| \[ v \] |
\[ I \] |
\[ P = U_0 \sin(\omega t +
\delta) I_0 \sin(\omega t) = U_0 I_0 \left[ \sin^2(\omega t)
\cos(\delta) + \cos(\omega t) \sin(\omega t) \sin(\delta)
\right] = U_0 I_0 \left[ \sin^2(\omega t) \cos(\delta) +
\frac{1}{2} \sin^2(2 \omega t) \sin(\delta) \right]
\] \[ \overline{P} =
\frac{1}{2} U_0 I_0 \cos(\delta) \] \[ P = U_{ef.} I_{ef.} \] \[ I_{ef.} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}
\implies U_{ef.} = R I_{ef.} = \frac{U_0}{\sqrt{2}}
\]
El. nihajni krog v kompleksnem (glej tudi
Skupna
števila): \[ \phi = \omega t
\] \[ U = U_0
e^{\mathrm{i} \phi} \] \[
I = I_0 e^{\mathrm{i} (\phi + \delta)} \] \[ Z_C = \frac{1}{\mathrm{i} \omega C}
\] \[ Z_L = \mathrm{i}
\omega L \] \[ |Z|
e^{\mathrm{i} \delta} = R + \mathrm{i} \omega L +
\frac{1}{\mathrm{i} \omega C} \]
Fizika delcev
\[ W_f = \mathrm{h} \nu
\] \[ W_f = A_i + W_k
\] \[ W_f = \Delta W_n
\] \[ \Delta W_v = \Delta
m c^2 \]
\[ N = N_0 2^{-
\frac{t}{t_{1/2}}} = N_0 e^{- \lambda t} \] \[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}
\] \[ A = N \lambda
\]
Jedrski razpadi
Razpad alfa; delec razpada je \(\alpha = ^4_2He_2^{2+}\): \[ ^{A}_{Z}X_N \rightarrow
^{A-4}_{Z-2}Y_{N-2} + ^4_2\mathrm{He}_2 \]
Razpad beta minus; delec razpada je \(\beta^{-} = e_0^{-}\): \[ ^A_ZX_N \rightarrow ^{A}_{Z+1}Y +
e_0^{-} + \bar{\nu}_e \] \[ n \rightarrow p + e_0^{-} +
\bar{\nu}_e \]
Razpad beta plus; delec razpada je \(\beta^{+} = e_0^{+}\): \[ ^A_ZX_N \rightarrow
^{A}_{Z-1}Y_{N+1} + e_0^{+} + \nu_e \] \[ p \rightarrow n + e_0^{+} + \nu_e
\]
Razpad gama; delec razpada je foton \(\nu\): \[ X^{+} \rightarrow X + \nu
\]
Računanje z
negotovostmi
Meritve brez negotovosti ne obstajajo (posebno če so
zvezne narave), zato so merski podatki brez negotovosti
nepopolni, torej precej neuporabni ali vsaj nezaželjeni.
Meritve pogosto nastopajo v obliki t.i. normalne
porazdelitve, ki jo opišemo z Gaussovo krivuljo, ki ima en
vrh nad izhodiščem (kjer je naše povprečje/večina meritev)
in se na obeh straneh spušča vedno bližje nič, torej dlje,
kot smo od izhodišča, večje kot je odstopanje meritve,
manjša je verjetnost za takšno meritev; nikoli pa ni nič. Po
dogovoru za negotovost vzamemo odsek okoli izhodišča, v
katerega pade 2/3 vseh meritev.
Negotovosti so povezane/odvisne (korelirane) ali
nepovezane/neodvisne.
Odvisne negotovosti seštevamo
- seštevanje/odštevanje količin: seštevanje
absolutnih napak
- množenje/deljenje količin: seštevanje relativnih
napak
Pri neodvisnih negotovostih seštevamo njihove
kvadrate.
Enačbe lahko močno poenostavimo z upoštevanjem
negotovosti in uporabo Taylorjeve vrste: \[ f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} x
+ \frac{f''(a)}{2!} x^2 +
\frac{f'''(a)}{3!} x^3 + ... \] V enačbi
lahko zanemarimo člene od tistega naprej, ki je zadosti
manjši od negotovosti.
Veličine in enote
Osnovne enote
Indukcija
Vodnik, ki ga vlečemo pravokotno na magnetno
polje: \[ U_i = U_H = B l v
\] \[ F_{zaviralna} = F_m
= B l I_i = \frac{B^2 l^2 v}{R} \]
Zanka, ki kroži v magnetnem polju, z osjo,
pravokotno na silnice mag. polja (v zanki se
inducira izmenična napetost): \[ \vec v = \vec \omega \vec r \implies
U_i = 2 U_H = 2 \omega r B a = B S \omega \cos(\phi)
\] \[ \vec v \times \vec B
= \omega r B \cos(\phi) \]
Faradayev /indukcijski zakon:
inducirana napetost v zaključeni zanki je premo
sorazmerna hitrosti spreminjanja magnetnega pretoka
skozi površino te zanke (kjer je \(\phi_m\) mag. pretok,
\(\vec B\) pa gostota
mag. polja): \[ U_i =
\frac{\d \phi_m}{\d t}; \phi_m = \int \vec B \vec{\d S}
\]
\(\vec H\): jakost
Mag. polja, ki je neodvisna od snovi v prostoru \[ \oint \vec B \vec{\d S} = \mu_0 I
\implies \oint \vec H \vec{\d S} = I \] \[ \oint \vec E_i \cdot \d \vec s = -
\int \frac{\partial B}{\partial t} \d \vec S \]
Tuljava
Tuljava v tokogrogu deluje kot “vztrajnost”, saj se upira
spremembam.
L: induktivnost tuljave \[ L = N^2 \frac{\mu_0 S}{l} \]
\[ U_i = - \frac{\d \phi_m}{\d t}
= - L \frac{\d I}{\d t} \]
\[ \tau = \frac{L}{R}
\] “Polnjenje” tuljave \[
I = I_0 (1 - e^{- t/\tau}) \] “Praznenje” tuljave:
\[ U_L + U_R = 0 \implies - L
\frac{\d I}{\d t} - I R = 0 \implies L \frac{\d I}{\d t} = -
I R \] \[ I = I_0 e^{-
t/\tau} \]
Energija tuljave: \[ \d
A = U \d e = U I \d t = P \d t = L \frac{\d I}{\d t} I \d t
\implies A = L \int_0^I I \d I \] \[ W_m = L \frac{I^2}{2} \]
Tuljava v tuljavi: \[ L_{2 1}
= \frac{N_2 B_1 S_2}{I_1} = \frac{\mu_0 N_1^2 I_1 N_2
S_2}{l_1 I_1} = \frac{\mu_0 N_1 N_2 S_2}{l_1} \]
Snov v magnetnem
polju
\(\mu\):
permeabilnost; večja kot je, bolj snov poveča
mag. polje, ker so v snovi mag. dipoli \[ \mu_0 \rightarrow \mu \mu_0
\] Magnetni dipol: \[\vec p_m = I \vec S = e_0 \upsilon
\pi r^2 \frac{v}{2 \pi r} = \frac{e_0 r v}{2} = \frac{e_0
\Gamma}{2 m_e} \]
Izmenični tok
\[U = U_0 \sin(\omega t +
\delta) \]
Kondenzator: \[ U + U_C
= 0 \implies U_0 \sin(\omega t) = \frac{e}{C} /\frac{\d}{\d
t} \implies C \omega U_0 \cos(\omega t) = I \] \[ "R_C" = Z_C =
\frac{U_0}{I_0} = \frac{1}{\omega C} \]
Tuljava: \[ U + U_L = 0
\implies U_= \sin(\omega t) = L \frac{\d I}{\d t} \implies -
\frac{1}{\omega L} U_0 \cos(\omega t) = A I\] \[ "R_L" = Z_L = \omega L
\]
\(U_C\) in \(U_L\) v tokokrogu z izmeničnim
tokom nihata v protifazi.
Električni nihajni
krog
\[ U = U_0 \sin(\omega t)
\] \[ I = I_0 \sin(\omega
t + \delta) \] \[ \omega^2
= \frac{1}{L C} \]
Primerjava vzmetnega nihala v mehaniki in
el. nihajnega kroga:
| \[ k \] |
\[ \frac{1}{C} \] |
| \[ m \] |
\[ L \] |
| \[ F \] |
\[ U \] |
| \[ W_k \] |
\[ W_m (L) \] |
| \[ W_{pr.} \] |
\[ W_e (C) \] |
| \[ x \] |
\[ l \] |
| \[ v \] |
\[ I \] |
\[ P = U_0 \sin(\omega t +
\delta) I_0 \sin(\omega t) = U_0 I_0 \left[ \sin^2(\omega t)
\cos(\delta) + \cos(\omega t) \sin(\omega t) \sin(\delta)
\right] = U_0 I_0 \left[ \sin^2(\omega t) \cos(\delta) +
\frac{1}{2} \sin^2(2 \omega t) \sin(\delta) \right]
\] \[ \overline{P} =
\frac{1}{2} U_0 I_0 \cos(\delta) \] \[ P = U_{ef.} I_{ef.} \] \[ I_{ef.} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}
\implies U_{ef.} = R I_{ef.} = \frac{U_0}{\sqrt{2}}
\]
El. nihajni krog v kompleksnem (glej tudi
Skupna
števila): \[ \phi = \omega t
\] \[ U = U_0
e^{\mathrm{i} \phi} \] \[
I = I_0 e^{\mathrm{i} (\phi + \delta)} \] \[ Z_C = \frac{1}{\mathrm{i} \omega C}
\] \[ Z_L = \mathrm{i}
\omega L \] \[ |Z|
e^{\mathrm{i} \delta} = R + \mathrm{i} \omega L +
\frac{1}{\mathrm{i} \omega C} \]
Fizika delcev
\[ W_f = \mathrm{h} \nu
\] \[ W_f = A_i + W_k
\] \[ W_f = \Delta W_n
\] \[ \Delta W_v = \Delta
m c^2 \]
\[ N = N_0 2^{-
\frac{t}{t_{1/2}}} = N_0 e^{- \lambda t} \] \[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}
\] \[ A = N \lambda
\]
Jedrski razpadi
Razpad alfa; delec razpada je \(\alpha = ^4_2He_2^{2+}\): \[ ^{A}_{Z}X_N \rightarrow
^{A-4}_{Z-2}Y_{N-2} + ^4_2\mathrm{He}_2 \]
Razpad beta minus; delec razpada je \(\beta^{-} = e_0^{-}\): \[ ^A_ZX_N \rightarrow ^{A}_{Z+1}Y +
e_0^{-} + \bar{\nu}_e \] \[ n \rightarrow p + e_0^{-} +
\bar{\nu}_e \]
Razpad beta plus; delec razpada je \(\beta^{+} = e_0^{+}\): \[ ^A_ZX_N \rightarrow
^{A}_{Z-1}Y_{N+1} + e_0^{+} + \nu_e \] \[ p \rightarrow n + e_0^{+} + \nu_e
\]
Razpad gama; delec razpada je foton \(\nu\): \[ X^{+} \rightarrow X + \nu
\]
Računanje z
negotovostmi
Meritve brez negotovosti ne obstajajo (posebno če so
zvezne narave), zato so merski podatki brez negotovosti
nepopolni, torej precej neuporabni ali vsaj nezaželjeni.
Meritve pogosto nastopajo v obliki t.i. normalne
porazdelitve, ki jo opišemo z Gaussovo krivuljo, ki ima en
vrh nad izhodiščem (kjer je naše povprečje/večina meritev)
in se na obeh straneh spušča vedno bližje nič, torej dlje,
kot smo od izhodišča, večje kot je odstopanje meritve,
manjša je verjetnost za takšno meritev; nikoli pa ni nič. Po
dogovoru za negotovost vzamemo odsek okoli izhodišča, v
katerega pade 2/3 vseh meritev.
Negotovosti so povezane/odvisne (korelirane) ali
nepovezane/neodvisne.
Odvisne negotovosti seštevamo
- seštevanje/odštevanje količin: seštevanje
absolutnih napak
- množenje/deljenje količin: seštevanje relativnih
napak
Pri neodvisnih negotovostih seštevamo njihove
kvadrate.
Enačbe lahko močno poenostavimo z upoštevanjem
negotovosti in uporabo Taylorjeve vrste: \[ f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} x
+ \frac{f''(a)}{2!} x^2 +
\frac{f'''(a)}{3!} x^3 + ... \] V enačbi
lahko zanemarimo člene od tistega naprej, ki je zadosti
manjši od negotovosti.
Veličine in enote
Osnovne enote