Računstvo

ne	ali	in	torej / če …, potem	če in samo če …, potem	je enako	podmnožica	unija	prazna množica	presek
\[\neg\]	\[\lor\]	\[\land\]	\[\implies\]	\[\iff\]	\[\Leftrightarrow\] \[=\]	\[\subset\]	\[\cup\]	\[\emptyset\]	\[\cap\]

Logika

\(A\)	\(B\)	\(\neg A\)	\(A \land B\)	\(A \lor B\)	\(A \implies B\)	\(A \iff B\)
P	P	N	P	P	P	P
P	N	N	N	P	N	N
N	P	P	N	P	P	N
N	N	P	N	N	P	P

Množice števil

Računamo lahko v različnih množicah števil - to je stvar izbire. Tako lahko račun v neki množici nima rešitve (ki jo hočemo v tej množici), ima pa jo v neki drugi množici, vendar nas ta rešitev ne zanima, zato razglasimo, da račun v izbrani množici nima rešitve (tako je običajno npr. s koreni negativnih števil).

\[ \href{#Naravna_stevila}{\mathbb{N}} < \href{#Cela_stevila}{\mathbb{Z}} < \href{#Razlozna_stevila}{\mathbb{Q}} < \href{#Stvarna_stevila}{\mathbb{R}} < \href{#Skupna_stevila}{\mathbb{C}} \]

Naravna števila

To so (pozitivna cela) števila s katerimi štejemo (npr. 1, 2, 3, 4, 5, 6, …).

Cela števila

To so naravna števila, število 0 in nasprotne vrednosti naravnih števil - negativna cela števila (npr. 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …)

Razložna števila

(racionalna števila)

To so števila, ki jih lahko izrazimo kot razmerje dveh celih števil, oz. predstavimo z ulomki (npr. 0, 1, -1, 1/3, -1/3, …).

Nerazložna števila

(iracionalna števila)

To so števila, ki jih ni mogoče izraziti kot razmerje dveh celih števil, oz. predstaviti z ulomki (npr. \(\sqrt{2}\), π, e, …).

Stvarna števila

(realna števila)

To so števila, ki jih lahko predstavimo na običajni številski premici (npr. 0, 1, -1, 1/3, -1/3, π, \(\sqrt{2}\), …).

Skupna števila

(kompleksna števila)

Skupna števila imajo stvarno sestavino (realno komponento) a in umišljeno sestavino (imaginarno komponento) b. Umišljena komponenta se označuje z i.

\[ \mathbb{C} = \left\{a + b\mathrm{i}; (a, b \in \mathbb{R} ) \land (\mathrm{i}^2 = -1 \Leftrightarrow \sqrt{-1} = \sqrt{\mathrm{i^2}})\right\} \] \[ {\lvert z \rvert}^2 = a^2 + b^2 \] \(\overline{z}\) je konjugirana vrednost skupnega števila \[ \overline{z} = a - \mathrm{i} b \] \[ {\lvert z \rvert}^2 = z \overline{z} \] \[ \phi = \arctan \left( \frac{b}{a} \right) \]

Polarni zapis:

\[ z = \lvert z \rvert (\cos \phi + \mathrm{i} \sin \phi) \]

Eulerjeva enačba: \[ \mathrm{e}^{\mathrm{i} \phi} = \cos(\phi) + \mathrm{i} \sin(\phi) \]

Eulerjev zapis:

\[ z = \lvert z \rvert \mathrm{e}^{\mathrm{i} \phi} \] \[ \overline{z} = \lvert z \rvert \mathrm{e}^{- \mathrm{i} \phi} \]

De Moivrova enačba:

\[ z^n = {\lvert z \rvert}^n (\cos n \phi + \mathrm{i} \sin n \phi) = {\lvert z \rvert}^n \mathrm{e}^{\mathrm{i} n \phi} \]

Računske operacije

Operacije imajo lahko sledeče lastnosti:

• zamenljivost, zakon o zamenjavi (komutativnost; npr. \(a+b = b+a\), \(A \cup B = B \cup A\)),
• družilnost, zakon o združevanju (asociativnost; npr. \((a+b)+c = a+(b+c)\), \((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\)),
• razčlenljivost, zakon o razčlenitvi (distributivnost; npr. \((a+b)c = ac + bc\), \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)),
• povratnost (refleksivnost; npr. \(a \parallel a\)),
• vzajemnost (simetričnost; npr. \(a \parallel b \iff b \parallel a\)),
• prehodnost (tranzitivnost; npr. \(a \parallel b \land b \parallel c \iff a \parallel c\)),
• nespremenljivost (idempotenca; npr. \(A \cup A = A\)),
• (npr. \(A \cup (A \cap B) = A\) - absorbcija unije glede na presek),

Množice

Potenčna množica množice A je množica njenih podmnož

ic, vključno s prazno množico. Če imamo množico A = {a, b, c, … }, je potenčna množica te množice:

P(A) = {{}, {a}, {b}, {c}, …, {ab}, {ac}, {bc}, …, {abc}, …}

Moč takšne potenčne mnoćžice, kjer je n število elementov v množici, je:

\[ m(\mathcal{P}(A)) = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + ... + \binom{n}{n} = 2^n \]

Kombinatorika

Verjetnost sestavljenega dogodka je zmnožek verjetnosti posameznih dogodkov.

Razvrstitve (permutacije)

To so razporedbe n različnih elementov na n mest.

\[ P_n = n! \]

Pri razvrstitvah z r ponovitvami posameznih elementov ne upoštevamo različnih razvrstitev enakih predmetov (možnih razvrstitev je r!):

\[ P_n^{r_1, r_2, r_3, ... , r_k} = \frac {n!}{r_1! r_2! r_3! ... r_k!} \]

Pri krožni razvrstitvi ne upoštevamo možnih zasukov enake razporedbe (če ne razlikujemo mest te krožne razvrstitve):

\[ P_n = \frac {n!}{n} = (n-1)! \]

Različice (variacije)

To so razporedbe n predmetov na r mest.

Če se elementi ne smejo ponavljati (na voljo imaš le različne elemente):

\[ V_n^r = \frac {n!}{(n-r)!} \]

Če se elementi lahko ponavljajo (uporabiš lahko večkrat enake elemente):

\[ ^{(p)}V_n^r = n^r \]

Izbori (kombinacije)

To so izbori r elementov iz množice z n elementi. Pri tem vrstni red ni pomemben, zato je to pravzaprav število različic (variacij), deljeno s številom možnih razvrstitev elementov posamezne različice.

\[ C_n^r = \frac {V_n^r}{r!} = \binom {n}{r} \]

Verjetnost

Statistično/empirično se verjetnost dogodka P(A) lahko opredeli kot število, pri katerem se ustali relativna pogostost dogodka A pri velikem številu ponovitev poskusa:

\[ P(A) = \lim_{n \to \infty} f'(A) \]

Relativna pogostost dogodka A se izračuna kot pogostost dog. A f(A) na število ponovitev poskusa n:

\[ f'(A) = \frac {f(A)}{n} \]

Običajno se verjetnost opredeli kot št. ugodnih izidov m za dogodek na št. vseh izidov n:

\[ P(A) = \frac {m}{n} \]

Za elementarni dogodek v popolnem sistemu dogodkov (kjer so vsi dog. enako verjetni) je ta verjetnost \(P(E) = \frac {1}{n}\).

Zaporedja

Če je \(a_n\) zaporedje s pozitivnimi členi, velja, da če sta zaporedji \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) in \(\sqrt[n]{a_n}\) konvergentni, je: \[ \lim_{x \to 0} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{x \to 0} \frac {a_{n+1}}{a_n} \]

Aritmetično zaporedje

Splošni člen: \[ a_n = (n - 1)d \] Vsota zaporedja: \[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) = \frac{n}{2} ( 2a_1 + a_n) \]

Geometrijsko zaporedje

Splošni člen: \[ a_n = a_1 k^{n-1} \] Vsota zaporedja: \[ S_n = a_1 \frac {k^n -1}{k - 1} \]

V primeru, da pa velja \(k = 1\): \[ S_n = n a_1 \]

Neskončna geometrijska vrsta

• \(|k| < 1\) - konvergentno zaporedje, vsota neskončnega zaporedja je končna;

• \(|k| \ge 1\) - divergentno zaporedje, vsota neskončnega zaporedja je neskončna

Številske vrste

Da vrsta konvergira, morajo njeni členi konvergirati proti 0.

\[ |k| < 1; \lim_{n \to \infty} S_n = \sum_{i=1}^{\infty} a_1 k^{i-1} = \frac{a_1}{1-k} \] \[ a + ak + ak^2 + ak^3 + ... = \frac{a}{a-k}; \lvert k \rvert < 1 \] \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty \] \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^r}\) za \(r > 1\) konvergira

Pogoji za konvergenco / divergenco

Za vrsto z ne nujno pozitivnimi členi velja:

• vrsta konvergira absolutno, če konvergira \(\sum \lvert a_n \rvert\)
• vrsta konvergira pogojno, če konvergira, a ne absolutno
  • Primer: alternirajoča vrsta:
    • Leibnizev pogoj: če absolutne vrednosti členov padajo proti nič, je vrsta konvergenta

Primerjalni pogoj

\(\sum a_n\) in \(\sum b_n\) sta vrsti s pozitivnimi členi in velja \(a_n \leq b_n\). Potem za vse \(n\) od nekod dalje velja:

• če je \(\sum b_n\) kovergentna, potem je tudi \(\sum a_n\) kovergentna
• če je \(\sum b_n\) divergentna, potem je tudi \(\sum a_n\) divergentna

Količniški pogoj

\(\sum a_n\) je vrsta s pozitivnimi členi in obstaja \(D = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\)

• \(D < 1\): vrsta je konvergentna
• \(D > 1\): vrsta je divergentna
• \(D = 1\): vrsta je ali konvergentna ali divergentna

Korenski pogoj

\(\sum a_n\) je vrsta s pozitivnimi členi, obstaja \(C = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}\)

• \(C < 1\): vrsta je konvergentna
• \(C > 1\): vrsta je divergentna
• \(C = 1\): vrsta je konvergentna ali divergentna

Raabejev pogoj

Ta pogoj je lahko uporaben, če data količniški in korenski 1.

\(\sum a_n\) je vrsta s pozitivnimi členi in obstaja

\[ R = \lim_{ n \to \infty} n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right) \]

• \(R > 1\): vrsta je konvergentna
• \(R < 1\): vrsta je divergentna
• \(R = 1\): vrsta je konvergentna ali divergentna

Dvočlenik

Binom

Dvočlenik je \(a+b\).

Dvočlenski izrek (binomski izrek)

Dvočlensko znamenje je \(\binom {n}{r}\).

\[ (a+b)^n = \binom{n}{0} a^n b⁰ + \binom{n}{1} a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2} a^{n-2} b^2 + \binom{n}{3} a^{n-3} b^3 + ... + \binom {n}{n} b^n a^0 = \sum_{r=0}^{n} \binom {n}{r} a^{n-r} b^r \]

Splošni člen dvočlenskega izreka je torej: \[ \binom {n}{r} a^{n-r} b^r\]

Nekaj pravil za računanje z dvočlenskim znamenjem:

\[ \binom {n}{r} = \binom {n}{n-r} \] \[ \binom {n}{0} = \binom {n}{n} = 1 \] \[ \binom {n}{r} + \binom {n}{r+1} = \binom {n+1}{r+1} \]

Funkcije

Funkcija je lahko:

• soda: \(f(-x) = f(x)\),
• liha: \(f(-x) = -f(x)\);
• injektivna (nobena vrednost y se ne ponovi): \(x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)\);
• surjektivna (zaloga funkcije so vsa stvarna števila): \(Z_f = \mathbb{R}\);
• bijektivna: injektivna in surjektivna;

Enačbo funkcije lahko podamo v več oblikah:

• razvita (eksplicitna): \(y = kx + n\) - razberemo smerni količnik \(k\) in začetno vrednost \(n\),
• nerazvita (implicitna): \(ax + by + c = 0\) - enačeno z nič,
• odsekovna (segmentna): \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1\) - razberemo ničlo \(m\) in začetno vrednost \(n\),
• razcepna/ničelna: \(y = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)...\) - ničle \(x_1, x_2, x_3\), …,
• temenska
  • kvadratne funkcije: \(y = a(x - p)^2 + q\) - teme T(p, q)

V nerazviti obliki lahko zapišemo enačbe vseh funkcij, v ostalih dveh pa ne - v razviti ne moremo zapisati navpičnih funkcij.

Računanje s funkcijami: \[ (f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x) \] \[ (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) \] \[ \left( \frac{f}{g} \right) (x) = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0 \]

Za kot, pod katerim funkcija seka os x velja \(\tan \varphi = k\). Kot med dvema funkcijama v presečišču: \[ \tan \varphi = \left| \frac {k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2} \right| \]

Inverzna funkcija \(f^{-1}(x)\): \[f: x \to y \iff f^{-1}: y \to x\]

Sestavljena funkcija (kompozitum funkcije): \[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \neq (f \circ g)(x) \]

Linearna funkcija

\[ f(x) = kx + n \] \[ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \tan \alpha \]

Potenciranje

Pravila za računanje s potencami: \[ a^0 = 1 \] \[ a^m \cdot a^n = a^{m + n} \] \[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m - n} \] \[ (a^m)^n = a^{mn} \] \[ a^{-n} = (\frac{1}{a})^n \]

Potence, ki so ulomki, lahko izrazimo tudi s koreni: \[ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \]

Kvadratna funkcija

• \(f(x) = ax^2 + bx + c; a \neq 0\);
• temenska oblika: \(f(x) = a(x - p)^2 + q\), teme T(p, q);
• razcepna/ničelna oblika: \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\), ničli \(x_1\) in \(x_2\);

\[ x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a} \] \[ D = b^2 - 4 a c \] \[ p = - \frac{b}{2 a} = \frac{x_1 + x_2}{2} \] \[ q = f(p) = - \frac{D}{4a} \]

Vietovi enačbi (z ničlama \(x_1\) in \(x_2)\): \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \]

Logaritem

Logaritem je obratna funkcija potenciranja.

\[ \log_a x = b \iff a^b = x \]

\[ \log_a 1 = 0 \] \[ \log_a a = 1 \]

Pravila za računanje z logaritmi:

\[ \log_a(u \cdot v) = \log_a u + \log_a v \] \[ \log_a \left( \frac{u}{v} \right) = \log_a u - \log_a v \] \[ \log_a u^v = v \cdot \log_a u \] \[ \log_a u = \frac{\log_b u}{\log_b a} \]

Kotne funkcije

fun. \ kot	\[ 0 \]	\[ 30 ° = \frac{\pi}{6} \approx 0,5 \]	\[ 45 ° = \frac{\pi}{4} \approx 0.8 \]	\[ 60 ° = \frac{\pi}{3} \approx 1,0 \]	\[ 90 ° = \frac{\pi}{2} \approx 1,6 \]
sin	\[ 0 \]	\[ \frac{1}{2} \]	\[ \frac{\sqrt{2}}{2} \]	\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \]	\[ 1 \]
cos	\[ 1 \]	\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \]	\[ \frac{\sqrt{2}}{2} \]	\[ \frac{1}{2} \]	\[ 0 \]
tan	\[ 0 \]	\[ \frac{\sqrt{3}}{3} \]	\[ 1 \]	\[ \sqrt{3} \]
cot		\[ \sqrt{3} \]	\[ 1 \]	\[ \frac{\sqrt{3}}{3} \]	\[ 0 \]

\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] \[ \sin(x + y) =\sin x \cos y + \cos x \sin y\] \[ \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \] \[ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \]

Hiperbolične

\[ \sinh x = \frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{2} \] \[ \cosh x = \frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}{2} \] \[ \tanh x = \frac{\mathrm{e}^x \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}} \]

\[ \cosh^2x - \sinh^2x = 1 \] \[ \sinh (x + y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \] \[ \cosh (x + y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \] \[ \tanh (x + y) = \frac{\tanh x \tanh y}{1 + \tan x \tan y} \]

Limita

Računanje z limitami:

\[ \lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n \pm \lim_{n \to \infty}b_n \] \[ \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n \cdot \lim_{n \to \infty}b_n \] \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{a_n}{b_n} \right) = \frac{\lim_{n \to \infty} a_n}{\lim_{n \to \infty}b_n} \] \[ \lim_{n \to \infty} (c \cdot a_n) = c \cdot \lim_{n \to \infty}a_n; c \in \mathbb{R} \]

Limita in druge funkcije:

\[ \lim_{n \to \infty} f(a_n) = f \left( \lim_{n \to \infty} (a_n) \right) \] \[ \lim_{n \to \infty} f(a_n^{b_n}) = \mathrm{e}^{\lim_{n \to \infty} (a_n - 1) b_n} \]

L’Hospitalovo pravilo: Naj bosta funkciji \(f\) in \(g\) odvedljivi na neki okolici točke \(x_0\) (ne nujno v \(x_0\)) in naj gresta obe hkrati proti 0 ali pa obe hkrati proti \(\pm \infty\) pri \(x \to x_0\). Če obstaja limita \(\lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\), obstaja tudi njen enaka limita \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}\).

Osnovne limite:

\[ \lim_{n \to \infty} C = C \] \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \] \[ \lim_{n \to \infty} a^n = \begin{cases} 0; -1 < a < 1 \\ \infty; a > 1 \\ 1; a = 1 \end{cases} \] \[ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac {r}{n} \right)^n = e^r; r \in \mathbb{R} \] \[ \lim_{x \to \infty} {\left( 1 + f(x) \right)}^{\frac{1}{f(x)}} = e \] \[ \lim_{x \to 0} \frac {\sin x}{x} = 1; \lim_{x \to \infty} \frac {\sin x}{x} = 0 \] \[ \lim_{x \to \infty} \sqrt[x]{x^r} = \lim_{x \to \infty} x^{\frac{r}{x}} = 1 \]

Odvod in integral

Odvod funkcije je funkcija naklonov te funkcije. Opredelitev odvoda:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac {f(x + h) - f(x)}{h} \]

Langrangeev izrek: če je zvezna funkcija \(f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) odvedljiva na intervalu (a, b), obstaja \(c \in (a, b)\), za katerega velja:

\[ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c) \]

Integral je obratna funkcija odvoda.

V spodnji preglednici so neosnovni (oz. bolj neosnovni) integrali sivo obarvani.

\[ \boldsymbol {f(x)} \]	\[ \boldsymbol {f'(x)} \]	\[ \boldsymbol {\int f(x) \mathrm{d}x} \]
\[ a \]	\[ 0 \]	\[ ax + C \]
\[ \textcolor{grey} {1} \]	\[ \textcolor{grey} {0} \]	\[ \textcolor{grey} {x + C} \]
\[ a x \]	\[ a \]	\[ \textcolor{grey} {a \frac {x^2}{2}+C} \]
\[ \textcolor{grey} {x} \]	\[ \textcolor{grey} {1} \]	\[ \textcolor{grey} {\frac {x^2}{2}+C} \]
\[ x^r \]	\[ rx^{r-1} \]	\[ \frac {x^{r+1}}{r+1} + C \]
\[ x^x \]	\[ x^x (ln x + 1) \]
\[ x^{-1} \]	\[ \textcolor{grey} {-x^{-2}} \]	\[ \ln |x| + C \]
\[ a^x \]	\[ a^x \ln a = \frac {a^x}{log_a \mathrm{e}} \]	\[ \frac {a^x}{lna} + C \]
\[ \textcolor{grey} {e^x} \]	\[ \textcolor{grey} {\mathrm{e}^x} \]	\[ \textcolor{grey} {\mathrm{e}^x + C} \]
\[ \mathrm{e}^{a x} \]	\[ a e^{a x} \]	\[ \frac {\mathrm{e}^{a x}}{a} + C \]
\[ \log_a x \]	\[ \frac {1}{x \ln a} = \frac {\log_a \mathrm{e}}{x} \]
\[ \textcolor{grey} {ln x} \]	\[ \textcolor{grey} {\frac {1}{x}} \]
\[ \sin x \]	\[ \cos x \]	\[ - \cos x + C \]
\[ \sin a x \]	\[ \textcolor{grey} a \cos a x \]	\[ -\frac {1}{a} \cos a x + C \]
\[ \cos x \]	\[ - \sin x \]	\[ \sin x + C \]
\[ \cos a x \]	\[ \textcolor{grey} - a \sin a x \]	\[ \frac {1}{a} \sin a x + C \]
\[ \tan x \]	\[ \frac {1}{cos^2x} \]
\[ \frac {1}{\cos^2 x} \]		\[ \tan x + C \]
\[ \cot x \]	\[ - \frac {1}{\sin^2 x} \]
\[ \frac {1}{\sin^2 x} \]		\[ - \cot x + C \]
\[ \arcsin x \]	\[ \frac {1}{\sqrt {1 - x^2}} \]
\[ \frac {1}{\sqrt {1 - x^2}}\]		\[ \arcsin x + C \]
\[ \arccos x \]	\[ - \frac {1}{\sqrt {1 - x^2}} \]
\[ \arctan x \]	\[ \frac {1}{1 + x^2} \]
\[ \frac {1}{x^2 + 1} \]		\[ \arctan x + C \]
\[ \frac {1}{x^2 + a^2} \]		\[ \frac {1}{a} \arctan \frac {x}{a} + C \]
\[ \operatorname{arccot} x \]	\[ - \frac {1}{1 + x^2} \]

Pravila za računanje z integrali: \[ \int \bigl( f(x) + g(x) \bigr) \mathrm{d}x = \int f(x) \mathrm{d} x + \int g(x) \mathrm{d} x \] \[ \int k \cdot f(x) \mathrm{d} x = k \int f(x) \mathrm{d} x \]

Integracija po delih:

\[ \int u v' = u v - \int v u' \]

Prostornina telesa vrtenine zvezne funkcije \(f\) okoli osi x:

\[ V = \pi \int_a^b f(x)^2 \mathrm{d}x \]

Površina vrtenine:

\[ P = 2 \pi \int_{x_1}^{x_2} f(x) \sqrt{1 + f'(x)^2} dx \]

Ploščina lika med krivuljama je določeni integral zgornjega roba lika minus spodnji rob lika (včasih se bolj splača integrirati po osi y namesto po x).

Ploščina lika, omejenega s krivuljo v polarnih koordinatah:

\[ S = \frac{1}{2} \int_{\phi_1}^{\phi_2} r^2 d \phi \]

Taylorjeva vrsta

Za izračun vrednosti \(n\)-krat odvedljivega veččlenika (polinoma) v okolici točke \(a\):

\[ T_n f(x; a) = f(a) + f'(a) (x - a) + \frac{f''(a)}{s!} (x - a)^2 + ... + \frac{f^{(n)} (a)}{n!} (x - a)^n \]

Stožnice

Stožnice se tako imenujejo zato, ker jih lahko dobimo s presekom dvojnega stožca z ravnino. Stožnice so krivulje II. reda.

\[ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \]

Za stožnice velja, da je vsaj eden od količnikov A, B, C ni enak 0. \(B = 0\)

• \(A=C\) - krožnica;
• \(A C > 0\) (A in C sta enako predznačena in nista enaka 0) - elipsa
• \(A C < 0\) (A in sta sta različno predznačena in nista enaka 0) - hiperbola;
• \(A = 0\) ali \(C = 0\) - parabola

Izsrednost je razdalja posameznega od dveh gorišč od središča:¸

• linearna izsrednost e (absolutna vrednost);
• numerična izsrednost ε (relativna na polos izsrednosti, oz. na polos, na kateri ležita gorišči, oz. na realno polos)

Izsrednost je lahko:

• vodoravna, gorišči sta na osi x: \(a > b\): \[e^2 = a^2 - b^2\] \[ε = \frac{e}{a}\]
• navpična, gorišči sta na osi y: \(a < b\) \[e^2 = b^2 - a^2\] \[ε = \frac{e}{b}\]

Središče S(p, q), polmer r, x-polos a in y-polos b.

Krožnica

\[ (x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2 \]

Elipsa

\[ \frac {(x-p)^2}{a^2} + \frac {(y-q)^2}{b^2} = 1 \]

Hiperbola

\[ \frac{(x - p)^2}{a^2} - \frac{(y - q)^2}{b^2} = \pm 1 \]

• za \(+1\) je \(a\) realna polos in \(b\) imaginarna polos; temeni in gorišči sta na x-osi; lahko zapišemo kot: \[ \frac{(x - p)^2}{a^2} - \frac{(y - q)^2}{b^2} = 1 \]

• za \(-1\) je ravno obratno - \(a\) je imaginarna in \(b\) relna polos; temeni in gorišči sta na y-osi; lahko zapišemo kot: \[ - \frac{(x - p)^2}{a^2} + \frac{(y - q)^2}{b^2} = 1 \]

Parabola

• navpična vodnica \((- \frac{p}{2}, b)\): \[ (y - b)^2 = 2p(x - a)\]
• vodoravna vodnica \((a, - \frac{p}{2})\): \[ (x - a)^2 = 2p(y - b)\]

Teme parabole: (a, b).

Prostoroslovje

(geometrija)

Tetivnemu liku lahko očrtamo krožnico tako, da so vsi njegovi koti na krožnici.

Za tetivni štirikotnik (to je le trapez) velja, da sta nasprotna kota sokota.

Koti

Radian

Radian je opredeljen kot kot loka enake dolžine kot polmera. Torej je bseg kroga \(2 \pi\) radianov, oz. \(2 \pi\) polmerov. \[ 180 ° = \pi \mathrm{rd} \]

Trikotnik

Trikotnik z oglišči \(A(x_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)\), s stranicami a, b, c.

\[ S = \frac {1}{2} \left| (x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (x_3 - x_1)(y_2 - y_1) \right| \]

\[ S = \frac{a v_a}{2} = \frac{ab \sin \gamma}{2} \]

\[ s = \frac {a+b+c}{2} \]

\[ R_{\text{očrtan.}} = \frac{abc}{4 S} \] \[ r_{\text{včrtan.}} = \frac{S}{s} \]

Heronova enačba za ploščino trikotnika: \[ S = \sqrt{s (s - a)(s - b)(s - c)} \]

Kosinusni izrek: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos \alpha \]

Sinusni izrek: \[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R_{\text{očrtan.}} \]

Pravokotni trikotnik

Pitagorov izrek: \[ h^2 = k_1^2 + k_2^2 \]

Če je \(S\) središče krožnice, na kateri ležijo točke \(A\), \(B\) in \(C\):

• obodni kot je \(\angle{ACB}\),
• središčni kot je \(\angle{ASB}\),

Središčni kot je dvakratnik obodnega.

Talesov izrek: obodni kot nad premerom krožnice je pravi; oz. razdalja med razpoloviščem hipotenuze in nasprotnim ogliščem je vedno polovica hipotenuze.

Paralelogram

Štirikotnik s paroma (nasprotnimi) vzporednimi stranicami.

\[ S = a v_a = ab \sin \alpha \]

Deltoid

Štirikotnik s paroma skladnimi soležečimi stranicami.

\[ S = \frac{e f}{2} \]

Krogla

Površina krogle je enaka plašču valja, visokega in širokega za premer krogle.

\[ P = 2 \pi r \cdot 2 r = 4 \pi r^2 \] \[ V = \frac {4 \pi r^3}{3} \]

Vektorji

\(\vec{i}\), \(\vec{j}\) in \(\vec{k}\) so bazni vektorji, tvorijo bazo koordinatnega prostora, morajo biti linerano neodvisni (enega ne moremo izraziti z ostalimi), večinoma pravokotni drug na drugega. \[\vec{a} = (a_1, a_2, a_3) = a_1 \vec{i} + a_2 \vec{j} + a_3 \vec{k} \]

• seštevanje/odštevanje: po komponentah
• množenje: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos \phi = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 \]
  • množenje/deljenje s skalarjem: po komponentah
• absolutna vrednost / dolžina: \[ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \]
• Vektorski produkt prestavlja ploščino paralelograma, ki ga zmnožena vektorja oklepata. Smer zmnožka je odvisna od zaporedja množenja in pri tem velja desno pravilo (tudi “pravilo desnega vijaka, ki pomeni, da če prvi vektor zasučemo okoli skupnega izhodišča proti drugemu vektorju, se vijak zavrti v smer vektorja zmnožka). \[ \vec{a} \times \vec{b} = \mathrm{det} \left( \begin{bmatrix}a_1 & b_1\\a_2 & b_2\\a_3 & b_3\end{bmatrix} \right) \]

Vektorski prostori

Vektorji tvorijo ogrodje prostora, če lahko vsak vektor v tem prostoru izrazimo kot njihovo linearno kombinacijo.

Baza prostora je tako ogrodje prostora, da so linearne kombinacije vseh vektorjev enolične (vsak vektor je moč izraziti le z eno linearno kombinacijo).

Matrike

• Seštevanje/odštevanje matrik: po komponentah
• Množenje s skalarjem (oz. matrika velikosti 1x1): po komponentah
• Množenje matrik (ne velja zamenljivost / komutativnost, velja pa družilnost / asociativnost): \[ \begin{bmatrix}a & b & c\\d & e & f\end{bmatrix} \begin{bmatrix}g & h\\i & j\\k & l\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}ag + bi + ck & ah + bj + cl\\dg + ei + fk & dh + ej + fl\end{bmatrix} \] Matrični produkt dveh neničelnih matrik je lahko tudi enak nič.
• transpozicija: stolpci postanejo vrstice in vrstice stolpci Vsi elementi diagonale identične matrike so enaki 1, ostali pa enaki 0. \[ IA = AI = A \]

Komutator kvadratnih matrik \(A, B \in \mathbb{C}^{n \times n}\): \[ [A, B] = AB - BA \]

Sled (ang. trace) je vsota prekotniških (diagonalnih) členov: \[ \mathrm{tr} (A) = A_{11} + A_{22} + ... + A_{nn} \] \[ \mathrm{tr} (A + B) = \mathrm{tr} (A) + \mathrm{tr} (B) \] \[ \mathrm{tr} (AB) = \mathrm{tr} (BA); A, B \in \mathbb{C}^{n \times n} \] \[ \mathrm{tr} (\lambda A) = \lambda \mathrm{tr} (A); \lambda \in \mathbb{C}; A \in \mathbb{C}^{n \times n} \]

Vrstična kanonična forma

• v vsaki vrstici je prvo neničelno število 1 (to je tudi t. i. pivot)
• v dani vrstici je prva 1 desno od prve 1 v vrstici nad njo
• od nekod dalje so lahko vrstice ničelne

Primer: \[ \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & a & b & c\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 &d\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \]

je enak številu njenih pivotov v vrstični kanonični formi (VKF). Matriko lahko pretvorimo v VKF z uporabo vrstičnih operacij Gauss-Jordanove eliminacije.

Reševanje linearnih enačb z matrikami

prostora rešitev homogenega sistema linearnih enačb je enaka razliki med številom vrstic in njenim rangom (\(k = n - \mathrm{rang}(A)\)). Spremenljivke, ki nimajo pivota, vzamemo za parameter.

Homogen sistem (kjer so vse vrstice enake 0) pa je pravzaprav podvrsta nehomogenega, kjer moramo matriko zgolj zapisati v razširjeni obliki, in je rešljiv le takrat, ko je \(\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A:b)\)

Postopek reševanja nehomogenih linearnih enačb:

• zapišemo matriko količnikov in jo prevedemo v VKF
• spremenljivke, ki nimajo pivotov v VKF, vzamemo za proste spremenljivke (parametre)
• zapišemo poenostavljen sistem enačb in ostale spremenljivke izrazimo s prostimi spremenljivkami

Primer:

\[ x - 2y + 3z - 4u = 4 \\ y - z + u = -3 \\ x + 3y - 3u = 1 \] \[ \begin{bmatrix}1 & -1 & 3 & -4 & : & 4\\0 & 1 & -1 & 1 & : & -3\\1 & 3 & 0 & -3 & : & 1\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}1 & -2 & 3 & -4 & : & 4\\0 & 1 & -1 & 1 & : & -3\\0 & 0 & 1 & -2 & : & 6\end{bmatrix} \] Tako dobimo poenostavljen sistem enačb: \[ x - 2y + 3z - 4u = 4 \\ y -z + u = -3 \\ z - 2u = 6 \] \(u\) vzamemo za parameter, ker nima pivota: \[ x = -8 \\ y = 3 + u \\ z = 6 + 2 u \] \[ r(u) (x, y, z, u) = (-8, 3 + u, b + 2 u, u) = (-8, 3, 6, 0) + u (0, 1, 2, 1) = \vec{r_0} + \vec{s} \] kjer je \(\vec{r_0}\) začetna točka na premici in \(\vec{s}\) smerni vektor premice.

Ali dani vektorji tvorijo ogrodje vektorskega prostora \(\mathbb{R}^n\), ugotovimo tako, da

1. vektorje zložimo v stolpce matrike A
2. to matriko A pretvorimo v VKF
3. Če je \(\mathrm{rang}(A) = n\), dani vektorji tvorijo ogrodje; vektorji, ki imajo pivote, tvorijo bazo

Inverz matrike

Če matriko razumemo kot transformacijo, je inverz matrike obratna transformacija.

\[ A^{-1} A = A A^{-1} = I_n; A, A^{-1} \in \mathbb{C}^{n \times n}; \mathrm{det}(A) \neq 0 \]

Inverz \(A^{-1}\) lahko izračunamo:

• z enačbo \(A X = I\), kjer je X iskani inverz, I pa identična matrika
• z Gaussovim algoritmom

Inverz diagonalne matrike: po komponentah

\[ \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & C \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix}A˘{-1} & 0 \\ 0 & C^{-1} \end{bmatrix} \]

Gauss-Jordanova eliminacija

Z njo pridemo do inverza matrike (če ta obstaja).

• najprej zapišemo razširjeno matriko \(\begin{bmatrix} A & I \end{bmatrix}\)
• z vrstičnimi operacijami razširjeno matrikp prevedemo v obliko \(\begin{bmatrix} I & A^{-1} \end{bmatrix}\)

vrstične , ki jih lahko uporabimo:

• i-to vrstico pomnožimo z neničelnim številom \(\alpha\) oz. celotno matriko pomnožimo z matriko \[ \begin{pmatrix} 1 & & & & & & \\ &\ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & &\alpha & & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & &\ddots & \\ & & & & & & 1 \\ \end{pmatrix} \]

• i-ti vrstici prištejemo \(\beta\)-kratnik j-te vrstice

• zamenjamo i-to in j-to vrstico

Determinanta matrike

determinanta predstavlja tudi količnik, za katerega se spremeni ploščina (vektorski produkt), če matriko vzamemo kot transformacijo. Če je determinanta negativna, je to zato, ker sta se bazna vektorja pri transformaciji zamenjala. \[ \mathrm{det} \left( \begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix} \right) = ad - bc \] \[ \mathrm{det} \left( \begin{bmatrix}a & b & c\\d & e & f\\g & h & i\end{bmatrix} \right) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \] \[ \mathrm{det} (A) = \sum_{\sigma \in \mathrm{Sym(n)}} \mathrm{sgn} (\sigma) A; A \in \mathbb{C}^{n \times n} \] \[ \begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix} = \mathrm{det} \left( \begin{bmatrix}\vec{i} & a_1 & b_1\\\vec{j} & a_2 & b_2\\\vec{k} & a_3 & b_3\end{bmatrix} \right) = \vec{i}(a_2b_3 - a_3b_2) + \vec{j}(a_3b_1 - a_1b_3) + \vec{k}(a_1b_2 - a_2b_1) \]

Za izračun determinante lahko uporabimo tudi Gaussovo metodo/algoritem:

• če vrstici prištejemo večkratnik druge vrstice, se determinanta ne spremeni
• če vrstico pomnožimo s \(k\), se determinanta pomnoži s \(k\).
• če zamenjamo dve vrstici, se spremeni preznak determinante
• iste operacije lahko uporabimo tudi na stolpcih

Determinanta zgornje trikotne matrike je vedno zmnožek prekotniških členov (ker je zmnožek vseh ostalih prekotnic enak nič). Zato je dovolj, da z Gaussovim algoritmom matriko poenostavimo le do zgornje trikotne oblike.

Če ima matrika veliko ničel, se splača uporabiti razvoj po stolpcu ali vrstici.

Računanje linearnih enačb z matrikami

Dimenzija prostora (število prostih spremenljivk / parametrov) je \(k = n - \mathrm{rang}(A)\).

Cramerjevo pravilo za izračun inverza matrike

\[ A^{-1} = \frac{1}{\mathrm{det}(A)} \mathrm{co}(A)^{T} \] Kofaktor \(\mathrm{co}(A)\) dobimo tako, da izračunamo kofaktorje po vseh vrsticah in stolpcih.

Linearne transformacije

linearna transformacija preoblikuje koordinatni prostor tako, da ohrani koordinatno mrežo (prejšnje navpičnice, vodoravnice in poševnice) ravne, vzporedne in enakomerno razmaknjene, ter ne premakne izhodišča. Opišemo jo lahko s preprosto matriko, ki nam pravzaprav pove koordinate transformiranih baznih vektorjev v netransformiranem prostoru. Če torej matriko/vektor množimo s to transformacijsko matriko, dobimo transformirano matriko/vektor.

\[ \vec{i} \to (a\vec{i}, c\vec{j});\, \vec{j} \to (b\vec{i}, d\vec{j}) \] \[ \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}ax & by\\cx & dy\end{bmatrix} \]

Preslikava je linearna, če velja, da je

• homogena: \(T(\alpha \gamma) = \alpha T(\gamma); \alpha \in \mathbb{R}; \gamma \in V\)
• aditivna: \(T(\gamma + \omega) = T(\gamma) + T(\omega); \gamma, \omega \in V\)

Vsaka linearna preslikava je določena s slikami baznih vektorjev.

(več zaporednih – zaporedje je pomembno) = zmnožek njihovih transformacijskih matrik (zaporedje v levo): \[ f(x) = \begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}; g(x) = \begin{bmatrix}e & h\\l & m\end{bmatrix} \] \[ f(g(x)) = \begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix}e & h\\l & m\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} \right) = \left( \begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}e & h\\l & m\end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} \]

nam pove, za kakšen količnik se spremeni ploščina/prostornina ob transformaciji. Če je determinanta negativna, to pomeni, da se je vektor normale ploščine obrnil (zamenjal predznak), kar se zgodi, če “zamenjamo” bazna vektorja med sabo.

Primer zasuka dvorazsežnostnega prostora okoli \((0, 0)\) za kot \(\phi\): \[ R_\phi = \begin{bmatrix} \cos \phi & - \sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{bmatrix} \]

Preslikave med vektorskimi prostori

• : \(A^* A = A A^* = I_n\)